Что такое фазовый переход? Каким он бывает?
Изучение сложных систем из большого числа взаимодействующих частиц – одна из основных проблем современной физики. Интерес представляет исследование термодинамического поведения веществ при определенном их строении. Переход системы в более упорядоченное состояние происходит в узкой области температур и называется фазовым переходом.
В природе существуют различные скачкообразные изменения состояния вещества, называемые фазовыми превращениями. К числу таких превращений относятся плавление и отвердевание, испарение и конденсация, переход металлов в сверхпроводящее состояние и обратный переход и так далее.
Одним из фазовых переходов является превращение из ферромагнитного в парамагнитное состояние у некоторых веществ.
Переход ферромагнетик–парамагнетик широко исследуется в наше время не только из-за его важности в материаловедении, но и ввиду того, что для его изучения можно применить весьма простую модель (модель Изинга), а, следовательно, этот переход можно наиболее детально изучить математически, что важно для создания пока еще отсутствующей общей теории фазовых переходов.
Все вещества в той или иной степени обладают магнитными свойствами, то есть являются магнетиками. Магнетики подразделяются на две большие группы: сильномагнитные и слабомагнитные вещества. Сильномагнитные вещества обладают магнитными свойствами даже в отсутствие внешнего магнитного поля. К ним относятся ферромагнетики, антиферромагнетики и ферримагнетики. Слабомагнитные вещества приобретают магнитные свойства только при наличии внешнего магнитного поля. Они подразделяются на диамагнетики и парамагнетики.
К диамагнетикам относятся вещества, атомы или молекулы которых в отсутствие внешнего поля не имеют магнитного момента. Атомы этих веществ устроены так, что орбитальные и спиновые моменты входящих в них электронов в точности компенсируют друг друга. Примером диамагнетиков являются инертные газы, атомы которых имеют только замкнутые электронные оболочки. При появлении внешнего магнитного поля вследствие явления электромагнитной индукции атомы диамагнетиков намагничиваются, и у них появляется магнитный момент, направленный, согласно правилу Ленца, против поля.
К парамагнетикам относятся вещества, атомы которых имеют отличные от нуля магнитные моменты. В отсутствие внешнего поля эти магнитные моменты ориентированы беспорядочно вследствие хаотического теплового движения, и поэтому результирующая намагниченность парамагнетика равна нулю. При появлении внешнего поля магнитные моменты атомов ориентируются преимущественно по полю, поэтому появляется результирующая намагниченность, направление которой совпадает с направлением поля. Следует отметить, что сами атомы парамагнетиков в магнитном поле намагничиваются так же, как и атомы диамагнетиков, но этот эффект всегда слабее эффекта, связанного с ориентацией моментов.
Главной особенностью ферромагнетиков является наличие спонтанной намагниченности, которая проявляется в том, что ферромагнетик может быть намагниченным даже в отсутствии внешнего магнитного поля. Это связано с тем, что энергия взаимодействия любой пары соседних атомов ферромагнетика зависит от взаимной ориентации их магнитных моментов: если они направлены в одну сторону, то энергия взаимодействия атомов меньше, а если в противоположные стороны, то больше. На языке сил можно сказать, что между магнитными моментами действуют короткодействующие силы, которые стараются заставить атом–сосед иметь такое же направление магнитного момента, как и у самого данного атома.
Спонтанная намагниченность ферромагнетика постепенно уменьшается с ростом температуры, и при некоторой критической температуре – точке Кюри – она становится равной нулю. При более высоких температурах ферромагнетик ведет себя в магнитном поле как парамагнетик. Таким образом, в точке Кюри происходит переход из ферромагнитного в парамагнитное состояние, который является фазовым переходом второго рода или непрерывным фазовым переходом.
Большой интерес представляют фазовые переходы второго рода, при которых происходит перестройка структуры вещества, но не происходит обмена энергией со внешней средой. Описывать фазовые переходы на примере микроскопических моделей вещества очень сложно с математической стороны из-за сложной структуры реальных веществ и сложных взаимодействий. Поэтому для изучения фазовых переходов рассматриваются модели, отображающие лишь основные свойства реального экземпляра, позволяющие провести аналитическое описание системы и фазового перехода.
Для описания фазовых переходов (ФП) и критических явлений (КЯ) в современной физике конденсированного состояния используются различные решеточные модели. Необходимо заметить, что при помощи теоретических методов на простых решеточных моделях точно решено только ограниченное число задач. Одна из таких моделей – модель Изинга. Модель была предложена Ленцем и исследована его дипломником Изингом с целью изучения фазового перехода из парамагнитного состояния в ферромагнитное. Изинг рассчитал термодинамические свойства модели в одномерной постановке и нашел, что в ней фазовый переход отсутствует. Однако в двумерном и трехмерном случаях модель Изинга действительно обнаруживает переход.
В 1925 году Изинг опубликовал работу, в которой содержались результаты изучения одномерной цепочки магнитных моментов (спинов), каждый из которых взаимодействует только с ближайшими соседями. Главный вывод заключался в том, что намагниченное состояние возможно только при нулевой температуре, т.е. точка Кюри для одномерной модели равна Тс=0 К.
Модель Изинга на квадратной решетке с взаимодействиями ближайших соседей считается точной решаемой и почти все ее свойства определены. При учете взаимодействия ближайших соседей в классической двумерной модели Изинга наблюдается вырождение основного состояния и возникновение различных фаз и фазовых переходов.
Ферромагнетики могут состоять из доменов конечного размера, в которых спины атомов имеют одинаковое направление (по-другому, говорят, что существует дальний порядок магнитных моментов атомов). Если к такому материалу приложить магнитное поле, разные домены выстраиваются, и материал становится намагниченным. При повышении температуры, намагниченность уменьшается, а при прохождении точки Кюри, система испытывает фазовый переход, при котором намагниченность пропадает.
В самом простом варианте модели Изинга каждый узел решетки занят спином si и учитываются только взаимодействия ближайших соседей. Каждая частица, расположенная на узле решетки, может иметь одно из двух состояний +1 или -1. Каждой возможной конфигурации расположения спинов (их всего 2N, N- число атомов решетки) соответствует энергия, получаемая из попарного взаимодействия спинов ближайших соседних атомов:
$$H=-J\sum_{n,n_0} S_n S_{n+n_0}-h\sum_n S_n$$
Суммирование происходит по всем парам спинов в кристаллической решетке. Параметр J определяет энергию взаимодействия пары соседних диполей, равную –J и +J соответственно для одинаковых и противоположных ориентаций спина и зависит от расстояния между спинами. Для ферромагнетика постоянная обменного взаимодействия J>0, тогда наименьшей энергией обладает полностью упорядоченная конфигурация, где все спины ориентированы в одном направлении. Такое случается при абсолютном нуле, с повышением температуры степень упорядоченности уменьшается и переходит в нуль в точке перехода, когда оба направления спина становятся равновероятными. Для определения термодинамических величин необходимо вычисление статистической суммы
$$Z_N (h,T)=\sum_{S_1}\sum_{S_2}…\sum_{S_n}…\sum_{S_N} Exp\left[\sum_{n,n_0} \frac{H}{kT}\right]$$
которая берется по всем возможным 2N конфигурациям (𝜃=J/T).
При h=0 каждый энергетический уровень дважды вырожден из-за неизменности энергии взаимодействия относительно «переворота» всех спинов (изменения знака σk). Преобразования σk → -σk и -σk→ σk образуют группу симметрии Z2. В модели Изинга фазовые переходы связаны со случайным нарушением этой симметрии. Симметрия Z2 нарушается из-за включения внешнего поля. Вероятность нахождения системы в состоянии с энергией E{σ} определяется распределением Гиббса:
$$P_i(h,T)=\frac{Exp\left[-\sum\limits_{n,n_0}\frac{H}{kT}\right]}{Z_N(h,T)}$$
Всего возможно 2N состояний, и для достаточно больших N это число велико, например, для N = 20 число состояний 220 > 106, что уже не так просто, чтобы рассчитать все свойства простым перебором, а для реалистичных случаев с числом состояний 1023 это вовсе невозможно, поэтому для моделирования используется статистический подход, причем даже для небольших N.
В статистическом подходе системы рассматриваются при термодинамическом равновесии при температуре T, то есть средняя энергия одной частицы пропорциональна T. При этом энергия системы флуктуириет, так как постоянно происходит обмен с окружающей средой. Одним из основных аспектов моделирования является реализация постоянного случайного изменения энергии вокруг равновесного значения. Основная идея статистического моделирования методом Монте-Карло заключается в том, чтобы разыгрывать состояния j системы по заданному распределению (в нашем случае — переворачивать спины случайным образом) при фиксированной температуре T с энергией Ej вблизи равновесия, в нашем случае, вычислять наблюдаемые величины в этих состояниях, такие как намагниченность Mj и др., а потом усреднять полученные значения. Таким образом мы получим среднее значение нужных нам термодинамических величин при данной температуре. Потом следует изменить температуру и повторить эту операцию, так мы получим зависимость термодинамических величин от температуры.