В связи со сложностями исследования фазовых переходов и критических явлений, они стали исследоваться методами численного эксперимента, методами Монте-Карло. К методам Монте-Карло относится ряд алгоритмов, заключающихся в повторении одного эксперимента множество раз. Результаты, получаемые данными методами, достаточно точны. Теперь точность по большей части зависит от мощности используемых вычислительных машин и используемого алгоритма.
Для решения современных актуальных задач в области математической физики необходимо применение методов, которые обладают такими свойствами как хорошее масштабирование при параллельных вычислениях, возможность повышения точности вычислений, а также преодоления критического замедления и т.п. Например, в такой области как исследование свойств термодинамических систем, наиболее употребим и универсален метод Метрополиса. Он обладает свойствами хорошей масштабируемости при параллельных вычислениях и возможностью повышения точности вычислений. Его применение, однако, становится затруднительным в критической области, области вблизи фазового перехода. В случае фазового перехода второго рода он проявляет свойства критического замедления, т. е. замедления скорости релаксации, что делает его применение затруднительным для систем большого размера. Кроме того, его применение не всегда ведёт к вопросу об ответе на вопрос о типе фазового перехода, т. е. дифференциации фазового перехода первого и второго рода.
Такие кластерные методы Монте-Карло как Свендсена-Ванга и Вольфа позволяют преодолеть критическое замедление. Это связано с тем, что метод Метрополиса является локальным, в то время как размер корреляций растёт по мере приближения к критической точке. Кластерные методы работают именно на корреляционной длине, поэтому замедление, если и имеет место, практически незначительно. Недостатком кластерных методов является принципиальная сложность их параллелизации, поскольку в процессе их применения строится кластер, распространяющийся сложным образом по всему размеру моделируемой системы. Этот метод так же, как и метод Метрополиса, сложно применить к ответу на вопрос о типе фазового перехода. Кластерные методы основаны на представлении статистической суммы в виде разложения по кластерам.
Метод Ванга-Ландау основан на представлении статистической суммы в виде разложения по плотности состояний энергии. Метод свободен от критического замедления и хорошо масштабируется при параллельных вычислениях. Метод позволяет ответить на вопрос о типе перехода.
Обобщенный алгоритм реализации метода Монте-Карло
Пусть, необходимо смоделировать модель Изинга с переворотом одного спина. Для начала необходимо определить тип и размер решетки, задать граничные условия. Пусть дана кубическая решетка размером L*L*L и периодическими граничными условиями. Затем задается начальная конфигурация спинов. Допустим, все спины первоначально имеют направление вверх. Выполняется следующий алгоритм:
- Выбрать узел решетки с номером i и спином Si.
- Вычислить разницу энергии при перевороте спина (Si->- Si).
- Рассчитать вероятность перехода Монте-Карло шага при перевороте спина.
- Сгенерировать случайное число Z с помощью генератора случайных равномерно распределенных чисел от 0 до 1.
- Если Z меньше, чем вероятность перехода Монте-Карло шага, перевернуть спин. Полученную конфигурацию спинов принять за исходную.
- Проанализировать полученную конфигурацию и сохранить данные для последующего усреднения.
- Перейти к шагу 1.
При выполнении алгоритма нет ограничений в выборе последовательности узлов решетки. Можно обходить решетку регулярным способом или выбирать узлы случайно. Для вычисления равновесных характеристик это не имеет значения. Также, случайно выбранная последовательность более реалистична при изучении динамических характеристик. Однако, такая методика медленнее, чем последовательная процедура и требует хорошего генератора случайных чисел, иначе есть вероятность пропуска узлов, в результате чего результаты будут ошибочными.
Граничные условия
Периодические граничные условия позволяют рассматривать сравнительно небольшой «кубик» пространства, в котором расположена изучаемая молекула. Молекулы, расположенные внутри кубика со временем претерпевают конформационные движения и перемещаются в пространстве, причём могут пересечь границы кубика. Суть метода заключается в том, что пространство разбивается на одинаковые кубики, причём предполагается, что содержимое кубиков одинаково и границы кубиков соприкасаются. При пересечении молекулой границы одного кубика, она попадает в другой, но это значит, что в первый кубик с противоположной стороны попадает такая же молекула. При этом моделируется динамика лишь одного такого кубика. Естественно, что размер кубика должен быть достаточно большим для исключения возможности краевых эффектов
Выбор подходящих линейных размеров и граничных условий должен осуществляться осторожно. Например, если для изинговского ферромагнетика линейный размер L может быть четным или нечетным, то в случае изинговского антиферромагнетика размер должен быть нечетным, иначе структура антиферромагнетика не будет совпадать с решеткой.