Метод реплично-обменного Монте-Карло или «параллельный отжиг» также помогает преодолеть эффект критического замедления, который наблюдается при использовании алгоритма Метропролиса.
Репличный обменный алгоритм метода Монте-Карло был развит для параллельного моделирования системы при разных температурах. Рассмотрим систему, которая состоит из M невзаимодействующих реплик (копий системы) в каноническом ансамбле, которые имеют разные температуры Tm (m=1, 2, … , M). Реплики в системе создаются таким образом, чтобы каждой реплике соответствовали разные температуры. Это соответствие между репликами и температурами можно представить в следующем виде:
\begin{equation}
\label{sixteen}
\left\{ \begin{aligned}
i=i(m)\equiv f(m), \\
m=m(i) \equiv f^{-1}(i),
\end{aligned} \right.
\end{equation}
где f(m) — функция перестановки m, $$f^{-1}$$ его инверсия.
Обозначим через $$X=\{x_1^{[i(1)]},\dots,x_M^{[i(M)]}\}=\{x_{m(1)}^{[1]},\dots,x_{m(M}^{[M]}\} $$
множество состояний в обобщенном ансамбле. Состояние X определяется набором M координат q[i] и импульсов p[i] для N атомов в реплике i при температуре $$T_m$$:
\begin{equation}
x_m^{[i]}\equiv (q^{[i]},p^{[i]})_m
\end{equation}
Поскольку реплики не взаимодействуют между собой, то вероятность для состояния X в этом обобщенном ансамбле пропорциональна больцмановскому фактору для каждой реплики
\begin{equation}
W(X)=exp\left\{-\sum_{i=1}^M\beta_m(i)H\left(q^{[i]},p^{[i]} \right) \right\} =exp\left\{-\sum_{m-1}^M \beta_m H \left ( q^{[i(m)]},p^{[i(m)]}\right)\right\}
\end{equation}
где i(m) и m(i) функции перестановки.
Рассмотрим обмен пары реплик в обобщенном ансамбле. Предположим, что мы обмениваем реплики i и j с температурами Tm и Tn, соответственно:
\begin{equation}
X={\dots,x_m^{[i]},\dots, x_m^{[j]},\dots}\rightarrow X’={\dots,x_m^{[j]’},\dots, x_n^{[j]’},\dots}
\end{equation}
Здесь i, j, m и n связаны функциями перестановки в формуле
\begin{equation}
\left\{ \begin{aligned}
i=i(m)\equiv f(m), \\
m=m(i) \equiv f^{-1}(i),
\end{aligned} \right.
\end{equation}
и обмен реплик представляет новую функцию перестановки f’:
\begin{equation}
\label{twenty}
\left\{ \begin{aligned}
i=f(m)\rightarrow j= f'(m), \\
j=f(n) \rightarrow i= f'(n),
\end{aligned} \right.
\end{equation}
Для сходимости к распределению равновесия, для этого обменного процесса, достаточно наложить условие детального баланса на вероятность перехода $$w(X\rightarrow X’)$$:
\begin{equation}
W(x)w(X\rightarrow X’)=W(X’)w(X’\rightarrow X)
\end{equation}
Отсюда следует:
\begin{equation}
\frac{w(X\rightarrow X’)}{w(X’\rightarrow X}=exp(-\bigtriangleup), \text{ где } \bigtriangleup \equiv(\beta_n-\beta_m)(E(q^{[i]}-E(q^{[j]}),
\end{equation}
и i, j, m и n связаны функциями перестановки перед обменом:
\begin{equation}
\left\{ \begin{aligned}
i=f(m) \\
j=f(n),
\end{aligned} \right.
\end{equation}
В соответствии со схемой Метрополиса обмен осуществляется следующим образом:
\begin{equation}
w(X\rightarrow X’)\equiv w(x_m^{[i]}|x_n^{[i]})= \left\{ \begin{aligned}
1, for \bigtriangleup\leq 0 \\
exp(-\bigtriangleup), for \bigtriangleup >0
\end{aligned} \right. \\
\text{, где } w(x_m^{[i]}|x_n^{[i]}) \text{-обмен между парами реплик}
\end{equation}
Итак, репличный обменный алгоритм, представляет собой поочередное выполнение следующих двух шагов:
1. Одновременно моделируются несколько реплик с определенными температурами в каноническом ансамбле независимо от количества МК шагов
2. Пара реплик, соответствующие соседним температурам $$x_m^{[i]}$$ и $$x_{m+1}^{[j]}$$ после выполнения определенного количества МК шагов обмениваются с вероятностью $$w(x_m^{[i]}|x_{m+1}^{[j]})$$.
Этот метод моделирования особенно подходит для параллельных компьютеров.
Главное преимущество этого алгоритма перед другими репличными алгоритмами в том, что вероятность обмена априори известна, тогда как для других алгоритмов определение вероятности очень утомительно и отнимает много времени.
В репличном обменном алгоритме для каждой реплики реализуется случайное блуждание по «температурному интервалу», которая в свою очередь стимулирует случайное блуждание в поле потенциальной энергии.
Это облегчает решение проблемы застревания системы в многочисленных состояниях с локальными минимумами энергии. Однако для увеличения эффективности этого метода требуется увеличение числа реплик, что требует больших компьютерных мощностей для моделирования сложных систем. Несмотря на это, этот репличный алгоритм является наиболее последовательным и специализированным для моделирования фазовых переходов в спиновых стеклах и фрустрированных магнитных системах.